mathjax test

When \(a \ne 0\), there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are \[x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.\]

有图有真相（3）

师大北门的东西总是很“便宜”，偶尔还来个给力的广告，比如说以下这家：



整张poster：



店面全景（请注意，徐记回归了！）



顾客大赞“物美价廉”：

我的信仰

       有这么一群人，他们固执地相信人类相互理解和最终和平的时代最终会到来：那一天，人们将看到一辆辆坦克被运进历史博物馆；那一天，人们将听到一枚枚火箭把核弹隆隆地送出地球村；那一天，手执冲锋枪的人们也为其所持感到自卑，于是他们放下武器，奔跑着，和他人拥抱；那一天，人们将为自己感到骄傲，骄傲那内心渴望彼此理解和达成和平的力量，这力量是如此强大，强大到现实的和平再也不必用暴力去捍卫！

       我荣幸地加入这群人，这群人将为那一天地早日到来奋斗终身。

有图有真相（2）

函数在某区间处处可导，其导函数不一定为连续函数。
      这是我在学习《数学分析》的时候想到的一个显然的结论，然而，要证明这个结论的例子我却找了很久，不过最终还是找到了，有些许“众里寻他千百度，蓦然回首”的感觉，今天偶尔光顾Matrix67的博客，发现他的博文《函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间》也用到了这个函数作为例子，小激动了下。先全文转载Matrix67的文章，然后说明这个函数如何论证了如题的结论。

函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间

Matrix67

           给出一个连续函数，某一点上的导数为正说明函数在这一点是上升的，换句话说函数从左边充分靠近该点时函数值总小于这个点，从右边靠近该点时函数值总大于这个点。但这并不等于说这一点左右是一个单增区间，也就是说该点左右任意小的邻域内函数都不是单调递增的。你能找出这样的函数来吗？
          昨天数学课上，我学到了一个比较牛B的东西：函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间。虽然左边的点都比该点低，右边的点都比该点高，但这并不能说明左边和右边各自都是单增的。这样的函数确实存在，而且并不是那种很怪的函数，仅仅是一个简单的初等函数：f(x) = x + 2x^2*sin(1/x)。由于x=0时函数没有定义，我们规定f(0)=0。按照导数的定义，函数在x=0时的导数值为 Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ] = Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ] = Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ] = 1
          这说明函数在x=0处的导数确实是正的。当x≠0时，按照求导法则可以求出f'(x) = 1 - 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x)。当|x|充分小时，最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数)，那么f'(x)保证是负的。这就告诉我们，x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况，这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方。
          其实，看一下f(x)的函数图象，你会立即明白这是怎么回事。这个函数越接近原点抖动频率越快（到原点时“周期”无限小），同时振幅也越小（到原点时振幅为0，这样可以保证导数存在）；但这个函数总的来说呈上升趋势。因此，这个函数才有我们前面提到的奇怪性质。

原文连接：http://www.matrix67.com/blog/archives/330

          说明最先的结论的函数是：f(x) = x^2*sin(1/x) ，x≠0；f(0)=0。首先，该函数在任意区间导数存在：f'(x) = 4x*sin(1/x) - cos(1/x) ，x≠0；f'(x) = Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ] = Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ] = Limit[Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ] = 0。考察导函数f'(x)的连续性,而Limit[ f'(x), Δx->0+ ]和Limit[ f'(x), Δx->0- ]均不存在，故x=0是导函数f'(x)的第二类间断点，下面是函数f(x) = x^2*sin(1/x)的图像：

下面是的图像：

好好亲热了遍

——献给几年前学过忘了和略过没学的变换和矩阵们

1、空间
1.1、定义了内积的实数域上的线性空间称为欧几里德空间（欧氏空间）。
1.2、定义了内积的复数域上的线性空间称为酉空间。

2、正交和幺正
2.1.1、欧氏空间中满足 (Aa,Ab)=(a,b) 的线性变换 A 称为正交变换。
2.1.2、矩阵 A 称为正交矩阵，如果 A'A=AA'=E，即 A'=逆A。
2.2.1、酉空间中满足 (Aa,Ab)=(a,b) 的线性变换 A 称为酉变换，也叫幺正变换。
2.2.2、矩阵 A 称为酉矩阵，也叫幺正矩阵，如果 A^A=AA^=E，即 A^=(逆A)。
2.3.1、正交变换、幺正变换保持向量的长度不变。
2.3.2、一标准正交基组在作正交变换、幺正变换后仍为一标准正交基组。
2.3.3、正交变换、幺正变换在标准正交基下的矩阵分别是正交矩阵、幺正矩阵。

3、对称和厄米
3.1.1、欧氏空间中满足 (Aa,b)=(a,Ab) 的线性变换 A 称为对称变换。
3.1.2、矩阵 A 称为对称矩阵，如果 A'=A 。
3.2.1、酉空间中满足(Aa,b)=(a,Ab) 的线性变换 A 称为对称变换。
3.2.2、矩阵 A 称为厄米矩阵，如果 A^=A 。
3.3.1、对称变换的特征值为实数，属于不同特征值的特征向量正交。
3.3.2、若 A 是对称矩阵或厄米矩阵，则存在正交矩阵 T 或幺正矩阵 C ，使得：
           (逆T)AT=T'AT 或 (逆C)AC=T^AT 为对角形矩阵。

4.0、符号说明
上面的叙述中，变换用大写加粗斜体字母表示，矩阵用大写字母表示，向量用小写加粗字母表示。(,) 表示内积。' 表示矩阵转置，^ 表示矩阵的转置复共轭。E 为单位矩阵。