有图有真相（2）

函数在某区间处处可导，其导函数不一定为连续函数。
      这是我在学习《数学分析》的时候想到的一个显然的结论，然而，要证明这个结论的例子我却找了很久，不过最终还是找到了，有些许“众里寻他千百度，蓦然回首”的感觉，今天偶尔光顾Matrix67的博客，发现他的博文《函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间》也用到了这个函数作为例子，小激动了下。先全文转载Matrix67的文章，然后说明这个函数如何论证了如题的结论。

函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间

Matrix67

           给出一个连续函数，某一点上的导数为正说明函数在这一点是上升的，换句话说函数从左边充分靠近该点时函数值总小于这个点，从右边靠近该点时函数值总大于这个点。但这并不等于说这一点左右是一个单增区间，也就是说该点左右任意小的邻域内函数都不是单调递增的。你能找出这样的函数来吗？
          昨天数学课上，我学到了一个比较牛B的东西：函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间。虽然左边的点都比该点低，右边的点都比该点高，但这并不能说明左边和右边各自都是单增的。这样的函数确实存在，而且并不是那种很怪的函数，仅仅是一个简单的初等函数：f(x) = x + 2x^2*sin(1/x)。由于x=0时函数没有定义，我们规定f(0)=0。按照导数的定义，函数在x=0时的导数值为 Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ] = Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ] = Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ] = 1
          这说明函数在x=0处的导数确实是正的。当x≠0时，按照求导法则可以求出f'(x) = 1 - 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x)。当|x|充分小时，最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数)，那么f'(x)保证是负的。这就告诉我们，x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况，这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方。
          其实，看一下f(x)的函数图象，你会立即明白这是怎么回事。这个函数越接近原点抖动频率越快（到原点时“周期”无限小），同时振幅也越小（到原点时振幅为0，这样可以保证导数存在）；但这个函数总的来说呈上升趋势。因此，这个函数才有我们前面提到的奇怪性质。

原文连接：http://www.matrix67.com/blog/archives/330

          说明最先的结论的函数是：f(x) = x^2*sin(1/x) ，x≠0；f(0)=0。首先，该函数在任意区间导数存在：f'(x) = 4x*sin(1/x) - cos(1/x) ，x≠0；f'(x) = Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ] = Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ] = Limit[Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ] = 0。考察导函数f'(x)的连续性,而Limit[ f'(x), Δx->0+ ]和Limit[ f'(x), Δx->0- ]均不存在，故x=0是导函数f'(x)的第二类间断点，下面是函数f(x) = x^2*sin(1/x)的图像：

下面是的图像：

好好亲热了遍

——献给几年前学过忘了和略过没学的变换和矩阵们

1、空间
1.1、定义了内积的实数域上的线性空间称为欧几里德空间（欧氏空间）。
1.2、定义了内积的复数域上的线性空间称为酉空间。

2、正交和幺正
2.1.1、欧氏空间中满足 (Aa,Ab)=(a,b) 的线性变换 A 称为正交变换。
2.1.2、矩阵 A 称为正交矩阵，如果 A'A=AA'=E，即 A'=逆A。
2.2.1、酉空间中满足 (Aa,Ab)=(a,b) 的线性变换 A 称为酉变换，也叫幺正变换。
2.2.2、矩阵 A 称为酉矩阵，也叫幺正矩阵，如果 A^A=AA^=E，即 A^=(逆A)。
2.3.1、正交变换、幺正变换保持向量的长度不变。
2.3.2、一标准正交基组在作正交变换、幺正变换后仍为一标准正交基组。
2.3.3、正交变换、幺正变换在标准正交基下的矩阵分别是正交矩阵、幺正矩阵。

3、对称和厄米
3.1.1、欧氏空间中满足 (Aa,b)=(a,Ab) 的线性变换 A 称为对称变换。
3.1.2、矩阵 A 称为对称矩阵，如果 A'=A 。
3.2.1、酉空间中满足(Aa,b)=(a,Ab) 的线性变换 A 称为对称变换。
3.2.2、矩阵 A 称为厄米矩阵，如果 A^=A 。
3.3.1、对称变换的特征值为实数，属于不同特征值的特征向量正交。
3.3.2、若 A 是对称矩阵或厄米矩阵，则存在正交矩阵 T 或幺正矩阵 C ，使得：
           (逆T)AT=T'AT 或 (逆C)AC=T^AT 为对角形矩阵。

4.0、符号说明
上面的叙述中，变换用大写加粗斜体字母表示，矩阵用大写字母表示，向量用小写加粗字母表示。(,) 表示内积。' 表示矩阵转置，^ 表示矩阵的转置复共轭。E 为单位矩阵。

我没有敌人——我的最后陈述

我没有敌人——我的最后陈述

刘晓波（2009 年12月23日）

        在我已过半百的人生道路上，1989年6月是我生命的重大转折时刻。那之前，我是文革后恢复高考的第一届大学生（七七级），从学士到硕士再到博士，我的读书生涯是一帆风顺，毕业后留在北京师范大学任教。在讲台上，我是一名颇受学生欢迎的教师。同时，我又是一名公共知识分子，在上世纪八十年代发表过引起轰动的文章与著作，经常受邀去各地演讲，还应欧美国家之邀出国做访问学者。我给自己提出的要求是：无论做人还是为文，都要活得诚实、负责、有尊严。那之后，因从美国回来参加八九运动，我被以“反革命宣传煽动罪”投入监狱，也失去了我酷爱的讲台，再也不能在国内发表文章和演讲。仅仅因为发表不同政见和参加和平民主运动，一名教师就失去了讲台，一个作家就失去了发表的权利，一位公共知识人就失去公开演讲的机会，这，无论之于我个人还是之于改革开放已经三十年的中国，都是一种悲哀。
        想起来，六·四后我最富有戏剧性的经历，居然都与法庭相关；我两次面对公众讲话的机会都是北京市中级法院的开庭提供的，一次是1991年1月，一次是现在。虽然两次被指控的罪名不同，但其实质基本相同，皆是因言获罪。
二十年过去了，六·四冤魂还未瞑目，被六·四情结引向持不同政见者之路的我，在1991年走出秦城监狱之后，就失去了在自己的祖国公开发言的权利，而只能通过境外媒体发言，并因此而被长年监控，被监视居住（1995年5月-1996年1月），被劳动教养（1996年10月-1999年10月），现在又再次被政权的敌人意识推上了被告席，但我仍然要对这个剥夺我自由的政权说，我监守着二十年前我在《六·二绝食宣言》中所表达的信念——我没有敌人，也没有仇恨。所有监控过我，捉捕过我、审讯过我的警察，起诉过我的检察官，判决过我的法官，都不是我的敌人。虽然我无法接受你们的监控、逮捕、起诉和判决，但我尊重你的职业与人格，包括现在代表控方起诉我的张荣革和潘雪晴两位检察官。在12月3日两位对我的询问中，我能感到你们的尊重和诚意。
        因为，仇恨会腐蚀一个人的智慧和良知，敌人意识将毒化一个民族的精神，煽动起你死我活的残酷斗争，毁掉一个社会的宽容和人性，阻碍一个国家走向自由民主的进程。所以，我希望自己能够超越个人的遭遇来看待国家的发展和社会的变化，以最大的善意对待政权的敌意，以爱化解恨。
        众所周知，是改革开放带来了国家的发展和社会的变化。在我看来，改革开放始于放弃毛时代的“以阶级斗争为纲”的执政方针。转而致力于经济发展和社会和谐。放弃“斗争哲学”的过程也是逐步淡化敌人意识、消除仇恨心理的过程，是一个挤掉浸入人性之中的“狼奶”的过程。正是这一进程，为改革开放提供了一个宽松的国内外环境，为恢复人与人之间的互爱，为不同利益不同价值的和平共处提供了柔软的人性土壤，从而为国人的创造力之迸发和爱心之恢复提供了符合人性的激励。可以说，对外放弃“反帝反修”，对内放弃“阶级斗争”，是中国的改革开放得以持续至今的基本前提。经济走向市场，文化趋于多元，秩序逐渐法治，皆受益于“敌人意识”的淡化。即使在进步最为缓慢的政治领域，敌人意识的淡化也让政权对社会的多元化有了日益扩大的包容性，对不同政见者的迫害之力度也大幅度下降，对八九运动的定性也由“动暴乱”改为“政治风波”。敌人意识的淡化让政权逐步接受了人权的普世性，1998年，中国政府向世界做出签署联合国的两大国际人权公约的承诺，标志着中国对普世人权标准的承认；2004年，全国人大修宪首次把“国家尊重和保障人权”写进了宪法，标志着人权已经成为中国法治的根本原则之一。与此同时，现政权又提出“以人为本”、 “创建和谐社会”，标志着中共执政理念的进步。
        这些宏观方面的进步，也能从我被捕以来的亲身经历中感受到。
        尽管我坚持认为自己无罪，对我的指控是违宪的，但在我失去自由的一年多时间里，先后经历了两个关押地点、四位预审警官、三位检察官、二位法官，他们的办案，没有不尊重，没有超时，没有逼供。他们的态度平和、理性，且时时流露出善意。6月23日，我被从监视居住处转到北京市公安局第一看守所，简称“北看”，在北看的半年时间里，我看到了监管上的进步。
        1996年，我曾在老北看（半步桥）呆过，与十几年前半步桥时的北看相比，现在的北看，在硬件设施和软件管理上都有了极大的改善。特别是北看首创的人性化管理，在尊重在押人员的权利和人格的基础上，将柔性化的管理落实到管教们的一言一行中，体现在“温馨广播”、“悔悟”杂志、饭前音乐、起床睡觉的音乐中，这种管理，让在押人员感到了尊严与温暖，激发了他们维持监室秩序和反对牢头狱霸的自觉性，不但为在押人员提供了人性化的生活环境，也极大地改善了在押人员的诉讼环境和心态，我与主管我所在监室的刘峥管教有着近距离的接触，他对在押人员的尊重和关心，体现在管理的每个细节中，渗透到他的一言一行中，让人感到温暖。结识这位真诚、正直、负责、善心的刘管教，也可以算作我在北看的幸运吧。
政治基于这样的信念和亲历，我坚信中国的政治进步不会停止，我对未来自由中国的降临充满乐观的期待，因为任何力量也无法阻拦心向自由的人性欲求，中国终将变成人权至上的法治国。我也期待这样的进步能体现在此案的审理中，期待合议庭的公正裁决——经得起历史检验的裁决。
        如果让我说出这二十年来最幸运的经历，那就是得到了我的妻子刘霞的无私的爱。今天，我妻子无法到庭旁听，但我还是要对你说，亲爱的，我坚信你对我的爱将一如既往。这么多年来，在我的无自由的生活中，我们的爱饱含着外在环境所强加的苦涩，但回味起来依然无穷。我在有形的监狱中服刑，你在无形的心狱中等待，你的爱，就是超越高墙、穿透铁窗的阳光，扶摸我的每寸皮肤，温暖我的每个细胞，让我始终保有内心的平和、坦荡与明亮，让狱中的每分钟都充满意义。而我对你的爱，充满了负疚和歉意，有时沉重得让我脚步蹒跚。我是荒野中的顽石，任由狂风暴雨的抽打，冷得让人不敢触碰。但我的爱是坚硬的、锋利的，可以穿透任何阻碍。即使我被碾成粉末，我也会用灰烬拥抱你。
亲爱的，有你的爱，我就会坦然面对即将到来的审判，无悔于自己的选择，乐观地期待着明天。我期待我的国家是一片可以自由表达的土地，在这里，每一位国民的发言都会得到同等的善待；在这里，不同的价值、思想、信仰、政见……既相互竞争又和平共处；在这里，多数的意见和少数的仪意见都会得到平等的保障，特别是那些不同于当权者的政见将得到充分的尊重和保护；在这里，所有的政见都将摊在阳光下接受民众的选择，每个国民都能毫无恐惧地发表政见，决不会因发表不同政见而遭受政治迫害；我期待，我将是中国绵绵不绝的文字狱的最后一个受害者，从此之后不再有人因言获罪。
表达自由，人权之基，人性之本，真理之母。封杀言论自由，践踏人权，窒息人性，压抑真理。
        为饯行宪法赋予的言论自由之权利，当尽到一个中国公民的社会责任，我的所作所为无罪，即便为此被指控，也无怨言。
        谢谢各位！

Unified Field Theory 统一场论

原文：

Unified Field Theory

by Tim Joseph

In the beginning there was Aristotle,

And objects at rest tended to remain at rest,

And objects in motion tended to come to rest,

And soon everything was at rest,

And God saw that it was boring.

Then God created Newton,

And objects at rest tended to remain at rest,

But objects in motion tended to remain in motion,

And energy was conserved and momentum was conserved and matter was conserved,

And God saw that it was conservative.

Then God created Einstein,

And everything was relative,

And fast things became short,

and straight things became curved,

And the universe was filled with inertial frames,

And God saw that it was relatively general,

but some of it was especially relative.

Then God created Bohr,

And there was the Principle,

And the Principle was Quantum,

And all things were quantified,

But some things were still relative,

And God saw that it was confusing.

Then God was going to create Ferguson,

And Ferguson would have unified,

And he would have fielded a theory,

And all would have been one,

But it was the seventh day,

And God rested,

And objects at rest tend to remain at rest.

——《New York Times》 1978

統一場論 譯文

約瑟夫  陳之藩 譯

當其始也，亞里斯多德出來，

靜者恒靜，

動者終歸於靜，

不久，萬物俱靜，

上帝看了一下：這多無聊。

於是上帝創造了牛頓，

靜者恒靜，

而動者恒動，

能量不滅，動量不滅，物質不滅，

上帝看了一下：這多保守。

於是上帝創造了愛因斯坦，

一切都是相對的，

快者變短，

直者變彎，

宇宙中充滿了種種惰性架位，

上帝看了一下：這是普遍的相對，

可其中有些特別的相對。

於是上帝創造了波爾，

原理再次，

原理就是量子，

一切化為量子，

可是有些東西仍是相對的，

上帝看了一下：這太亂了。

於是上帝要創造已弗之蓀，

弗之蓀就要統一起來：

他會培出一種理論，

把所有一切歸於統一，

但已是第七天了，

上帝休息了，

靜者恒靜。

【转】台湾经验与中国的民主之路

转自《春风秋雨 李志文的学者人生》

台湾经验与中国的民主之路

李志文

2010．10．06

我是个经济学家，民主、法治、政党政治不是我想碰的话题。但是政治、经济、商学（会计、金融、营销）是很难绝对分家的。当我们探讨问题到了根本性，这三个堂兄弟又碰在一起，难分难解。

大家都知道，中国的经济过去二十年，改革开放后的蓬勃发展，最可能碰上的瓶颈就是制度更新跟不上经济发展。许多制度因素来自文化传承，中国下一步经济发展的最大问题，是千年帝制千疮百孔的社会结构、制度框架，无法适应现代社会的需要。这可不是什么真知灼见，百年前孙文、鲁迅、陈独秀及成千上万的读书人都讨论过。

          幸运的是，我们现在谈的不再是理念，而是具体问题。现在的中国已经没有一个人会对帝制存有幻想，没有一个人会怀疑民主政治的重要。问题是怎么做？

更幸运的是1949年，一群知识分子，还是比较西化与优秀的知识分子，兵荒马乱，急不择路的到了台湾，为这个经历五十年殖民生涯的小岛，提供了高强度与高密度的脑细胞。这些知识分子对西方的制度与发展过程，有深刻的认识，对于国家治理也有亲身的体验。如今成了难民，娇气尽失，虚心自问。有些被迫做了二度难民（如陈立夫、胡适之），流亡美国，没有了酒肉销魂，案牍劳形，多了扪心自问，书卷求真。对中华大帝国的艰难转型有了更深刻的认识。

不同角度，同样幸运的是，日本这个亚洲首先西化的国家，一开始就想吞并台湾，所以对台湾的统治不完全是剥削性的殖民，也做了不少基础建设，尤其是基础教育。大量台湾精英子弟被引诱到日本留学，做皇民化的洗脑，也附带接触了工业社会的文化精髓。

1949年，大量的知识分子涌到这个小岛，让这个小岛的文化气息、教育水准陡然升高。在1950 年代，乡绅卖油条，团长(通常不是正规军)拉三轮车，县长教小学，是常见的现象。我在师大附中(台湾的顶级高中之一) 念书的时候，国文老师都是满腹经纶的宿儒。如果留在大陆能熬到改革开放，都有博导资格。民主政治的最重要的要素是明白事理的人民。中国大陆现在全面铺开民主选举的最大障碍就是六亿的半文盲农民。

我认为台湾小弟能为大陆哥哥做的最大贡献，就是促进大陆的民主进程。一旦大陆走上了全民选举，有了多党平等参与的议会政治，统一大业也就是选举小事。当人民的利益都能得到合理合法的保障，有了政党做为代言人，天安门上，挂的是什么旗，是没有人会关心的。过去百年，天安门上，换过多少旗，谁记得了？谁关心了？

蒋经国在台湾的地位与角色非常像大陆的邓小平。六四是非常不幸的。没有学生这么一闹，说不定大陆已经走上了民主法治。六四的前夕，我在北京，气氛紧张诡异。我认得一些太子党，连他们都蠢蠢欲动，要在民主运动上卡位。

大陆的帝王封建思想比台湾高得多。可能是台湾没有出现过真正的皇帝，只有占领者。占领者没有名分，对人民的压榨及对民权的尊重经常比独裁皇帝好。这就是所谓的妻不如妾的道理。

台湾的民主进程快些，一个原因是台湾工业化的程度比大陆高，另外一个原因是当政的外省人有点心虚。 大陆会走向民主的，我们要谨防民主运动的野心家，我们要一切按法律从事，对不合理的法条要求修法，所有的民主活动，找到法律根据。我们要学习在群众运动中维持理性与次序，没有理性的人民、没有对法律的尊重，是不可能让人民当家做主的，因为人民没有能力及工具当家做主。60年前叫的口号就是人民当家做主，国号是人民共和国，但是人民还是奴隶，主要原因是人民没有能力（就是制度）与工具（就是法律）当家做主。

民主不是当政者施舍的，被施舍的怎么可能做主人？在现代社会，我们不要当政者爱我们，我们要当政者听从我们。人民拿到治权之前，先要拿到政权，至少是间接政权，就是选举全国政协的权利。政协按照现有的宪法，是各党各派选出，是政权的来源。当然该由全国人民选出。 新政协的第一个任务就是修改宪法。人大在短暂的过渡时期，可以是共产党的，拥有治权。政协推举国家领导人，候选人开始的时候可能是共产党员。在逐步修法后，政党要有公平开放的竞选保障，让政协人大合而为一，或是让政协发展成为美国的众议院，人大发展为美国的参议院。

国民党的平稳转移政权给民进党，是中国历史的重大事件。更重要的，在陈水扁注定坐牢的背景下，民进党平稳的将政权交到国民党手上。这段历程是整个中华民族的骄傲。国民党已经下台乖乖洗了个澡，变成干干净净，清清爽爽，洗清百年的罪恶。国共四十年内战，百万大军无法解决的问题，每一个人投一张纸进桶里，就解决了。

台湾已经没有国民代表大会，国民党也已经下台乖乖洗了个澡，变成干干净净，清清爽爽。 当中国走上民主法治，两岸三地的统一是轻而易举，让选票说话。民进党有本事，就选进中南海啊！没本事就在旁边站着排队，按法规说话。学生也不必要再念没有人能说清楚的马列毛邓，浪费宝贵的青春。把念马列毛邓的时间用来学习民、刑、宪三法及没有党政色彩的历史文化，让社会秩序有法可循，让人民有民族文化的熏陶，我们才能有真正的和谐社会。民主不是当政者施舍的，被施舍的怎么可能做主人？马列毛邓连麻醉药都不是了，是老师难熬的时刻，同学写情书、睡大觉的时光。

中国已经扎扎实实的迈入了工业社会，全国交通网的完成，电视与广播的普及，基本教育落实到每一个人民，我们怎么能没有民主法治呢？到了经济全球化、知识化的今天，哪有一个专制国家能持续经济发展的？当人人有念大学的机会的时候，马列毛邓让老师怎么教得下去？

胡哥，问问马列毛邓的老师们，他们的日子有多痛苦？生命有多卑微？问问全国大中小的学生们，他们懂不懂如何做守法爱国的现代公民？问问农民，为什么要拼命上访？问问美国人，他们上访过吗？

全国官员们，别怕没有官做，只是把奉迎拍马的时间，改换成服务人民，把言不由衷的时间，换成忧国忧民。

让我们是真正的中华人民共和国。