这是我在学习《数学分析》的时候想到的一个显然的结论，然而，要证明这个结论的例子我却找了很久，不过最终还是找到了，有些许“众里寻他千百度，蓦然回首”的感觉，今天偶尔光顾Matrix67的博客，发现他的博文《函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间》也用到了这个函数作为例子，小激动了下。先全文转载Matrix67的文章，然后说明这个函数如何论证了如题的结论。
函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间
Matrix67
给出一个连续函数，某一点上的导数为正说明函数在这一点是上升的，换句话说函数从左边充分靠近该点时函数值总小于这个点，从右边靠近该点时函数值总大于这个点。但这并不等于说这一点左右是一个单增区间，也就是说该点左右任意小的邻域内函数都不是单调递增的。你能找出这样的函数来吗？
昨天数学课上，我学到了一个比较牛B的东西：函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间。虽然左边的点都比该点低，右边的点都比该点高，但这并不能说明左边和右边各自都是单增的。这样的函数确实存在，而且并不是那种很怪的函数，仅仅是一个简单的初等函数：f(x) = x + 2x^2*sin(1/x)。由于x=0时函数没有定义，我们规定f(0)=0。按照导数的定义，函数在x=0时的导数值为 Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ] = Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ] = Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ] = 1
这说明函数在x=0处的导数确实是正的。当x≠0时，按照求导法则可以求出f'(x) = 1 - 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x)。当|x|充分小时，最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数)，那么f'(x)保证是负的。这就告诉我们，x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况，这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方。
其实，看一下f(x)的函数图象，你会立即明白这是怎么回事。这个函数越接近原点抖动频率越快（到原点时“周期”无限小），同时振幅也越小（到原点时振幅为0，这样可以保证导数存在）；但这个函数总的来说呈上升趋势。因此，这个函数才有我们前面提到的奇怪性质。
昨天数学课上，我学到了一个比较牛B的东西：函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间。虽然左边的点都比该点低，右边的点都比该点高，但这并不能说明左边和右边各自都是单增的。这样的函数确实存在，而且并不是那种很怪的函数，仅仅是一个简单的初等函数：f(x) = x + 2x^2*sin(1/x)。由于x=0时函数没有定义，我们规定f(0)=0。按照导数的定义，函数在x=0时的导数值为 Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ] = Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ] = Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ] = 1
这说明函数在x=0处的导数确实是正的。当x≠0时，按照求导法则可以求出f'(x) = 1 - 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x)。当|x|充分小时，最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数)，那么f'(x)保证是负的。这就告诉我们，x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况，这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方。
其实，看一下f(x)的函数图象，你会立即明白这是怎么回事。这个函数越接近原点抖动频率越快（到原点时“周期”无限小），同时振幅也越小（到原点时振幅为0，这样可以保证导数存在）；但这个函数总的来说呈上升趋势。因此，这个函数才有我们前面提到的奇怪性质。
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说明最先的结论的函数是：f(x) = x^2*sin(1/x) ，x≠0；f(0)=0。首先，该函数在任意区间导数存在：f'(x) = 4x*sin(1/x) - cos(1/x) ，x≠0；f'(x) = Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0), Δx->0 ] = Limit[ f(Δx)/Δx, Δx->0 ] = Limit[Δx*sin(1/Δx) , Δx->0 ] = 0。考察导函数f'(x)的连续性,而Limit[ f'(x), Δx->0+ ]和Limit[ f'(x), Δx->0- ]均不存在，故x=0是导函数f'(x)的第二类间断点，下面是函数f(x) = x^2*sin(1/x)的图像：
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