好好亲热了遍

——献给几年前学过忘了和略过没学的变换和矩阵们

1、空间
1.1、定义了内积的实数域上的线性空间称为欧几里德空间（欧氏空间）。
1.2、定义了内积的复数域上的线性空间称为酉空间。

2、正交和幺正
2.1.1、欧氏空间中满足 (Aa,Ab)=(a,b) 的线性变换 A 称为正交变换。
2.1.2、矩阵 A 称为正交矩阵，如果 A'A=AA'=E，即 A'=逆A。
2.2.1、酉空间中满足 (Aa,Ab)=(a,b) 的线性变换 A 称为酉变换，也叫幺正变换。
2.2.2、矩阵 A 称为酉矩阵，也叫幺正矩阵，如果 A^A=AA^=E，即 A^=(逆A)。
2.3.1、正交变换、幺正变换保持向量的长度不变。
2.3.2、一标准正交基组在作正交变换、幺正变换后仍为一标准正交基组。
2.3.3、正交变换、幺正变换在标准正交基下的矩阵分别是正交矩阵、幺正矩阵。

3、对称和厄米
3.1.1、欧氏空间中满足 (Aa,b)=(a,Ab) 的线性变换 A 称为对称变换。
3.1.2、矩阵 A 称为对称矩阵，如果 A'=A 。
3.2.1、酉空间中满足(Aa,b)=(a,Ab) 的线性变换 A 称为对称变换。
3.2.2、矩阵 A 称为厄米矩阵，如果 A^=A 。
3.3.1、对称变换的特征值为实数，属于不同特征值的特征向量正交。
3.3.2、若 A 是对称矩阵或厄米矩阵，则存在正交矩阵 T 或幺正矩阵 C ，使得：
           (逆T)AT=T'AT 或 (逆C)AC=T^AT 为对角形矩阵。

4.0、符号说明
上面的叙述中，变换用大写加粗斜体字母表示，矩阵用大写字母表示，向量用小写加粗字母表示。(,) 表示内积。' 表示矩阵转置，^ 表示矩阵的转置复共轭。E 为单位矩阵。